É amplamente conhecido que a física se constitui em uma fonte de estruturas matemáticas que estão profundamente interligadas entre si e ao que chamamos de matemática pura. Neste âmbito, a noção de uma álgebra de vértices, por exemplo, formaliza aspectos da composição de campos quânticos, mas têm encontrado aplicações em áreas da matemática alheias a este ponto de origem.

Com o apoio do Instituto Serrapilheira, continuo neste projeto a investigação da estrutura destas álgebras e as suas representações. Pretendo aplicar as ferramentas desenvolvidas na primeira fase do projeto para elucidar a composição de certas novas categorias trançadas, relacionadas à teoria de nós e tranças. Além disso, irei investigar conexões com a geometria simplética e com as misteriosas fórmulas de Ramanujan.

A teoria de representações é a teoria matemática de simetria e de como sistemas de simetrias se manifestam no mundo. Essa disciplina tem sua origem em duas fontes: estudos de grupos de transformações lineares no fim do século 19, e o advento da mecânica quântica no começo do século 20. Desde então, a teoria de representações tem se tornado uma ferramenta indispensável na matemática, física e química. Ao mesmo tempo, ela se beneficia de ideias oriundas da física teórica; ideias que levaram, no fim do século 20, à elaboração de uma grande síntese de diversas áreas da matemática: álgebras de Lie e grupos quânticos, formas automórficas, grupos finitos, e a topologia de nós e de 3-variedades. Um intermediário dessa síntese é uma classe de estruturas algébricas chamado álgebras de vértices. O projeto visa avançar a teoria de álgebras de vértices e aprofundar nossa compreensão das ligações entre as áreas listadas.